Теория функциональных пространств

Ведется разработка концепции обобщенных пространств типа Мори и исследование их важнейших базовых свойств, а также исследование интегральных и дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Исследуется взаимосвязь локальных и глобальных обобщенных пространств Морри и их перестановочно инвариантных аналогов, использующих симметрические перестановки функций, а также устанавливаются критерии их нетривиальности. Функциональные пространства типа Морри обладают важными приложениями в теории дифференциальных уравнений.

Общая теория операторов в функциональных пространствах

Рассматривается проблема Т. Като о квадратном корне из регулярно аккретивного оператора. Доказано, что сильно эллиптические функционально-дифференциальные операторы с однородными условиями Дирихле на границе и эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением удовлетворяют гипотезе Т. Като. Исследуется вопрос о том, удовлетворяет ли гипотезе Т. Като дифференциально-разностный оператор со смешанными краевыми условиями.
Рассматриваются общие свойства операторов, действующих из перестановочно инвариантных пространств в обобщенные пространства типа Мори. Теория операторов в функциональных пространствах представляет значительный самостоятельный интерес, связанный с новыми специфическими постановками задач и методами их изучения.

Спектральная теория линейных операторов

Изучаются спектральные свойства операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями, блочных якобиевых матриц, квантовых графов. Ведется исследование дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного спектров каждого из перечисленных операторов. Исследуются связи спектральных свойств специальных квантовых графов с соответствующими спектральными свойствами дискретных графов, а также свойствами операторов Шредингера со специальными точечными взаимодействиями.
Исследуется задача о получении точных оценок отклонения собственных значений неотрицательных самосопряженных эллиптических операторов при изменении области определения через геометрические характеристики близости исходной и возмущенной областей. Результаты, полученные для операторов произвольного четного порядка, для областей со сколь угодно сильным вырождением, для задач с граничными условиями Дирихле, Неймана, Робина и p-Лапласиана могут быть применены для обоснования численных методов вычисления собственных чисел для нерегулярных областей.
Исследуются вопросы структуры спектра сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов.